◇曲線の長さ◇

UZgranpa 2012/2

■曲線の長さを積分を使って求める。シミュレイションも行った。
放物線の長さも求めた。{難しかった!}

◇曲線の長さを積分を使って求める◇

■線素ds=root[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

曲線の長さL=∫{1}ds

■y=y(x),z=z(x) であれば、ds/dx=root[1+(dy/dx)^2+(dz/dx)^2]

曲線の長さL=∫{ds/dx}dx

■F(x,y,z) で、経路が、x=x(t),y=y(t),z=z(t)という、パラメータ表示できた時、

ds/dt=root[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2]

曲線の長さL=∫{ds/dt}dt

◇計算例1◇

直線y=-x+1　0<x<1

x=t,y=1-t　ds/dt=root[2]　L=∫{root[2]}dt[t:0->1]=root[2]

半径1の円周の1/4　x=cos(t)　y=sin(t)　0<t<(pi)/2

dx/dt=-sin(t)　dy/dt=cos(t)　ds/dt=root{[-sin(t)]^2+cos(t)^2}=1

L=∫{1}dt[t:0->(pi)/2]=[t][t:0->(pi)/2]=(pi)/2

4倍して、円周=2(pi)

y=(2/3)x^(3/2) 0<x<1

dy/dx=x^(1/2)　ds=(1+x)^(1/2)dx

L=∫{(1+x)^(1/2)}dx[x:0->1]=(2/3)[(1+x)^(3/2)][x:0->1]=4*root[2]/3-2/3

◇シミュレイションで求める◇

■excel を使い、50ステップで求めてみた。

関数y=f(x) x0〜x50 y0〜y50

(Δs1)^2=(x1-x0)^2+(y1-y0)^2　(Δs2)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2　…

曲線の長さs=Δs1+Δs2+…+Δs50

■放物線　y=x^2　x=0〜x=1　s=1.47891　(正しい値1.47894…)

■円　y=root[1-x^2]　x=0〜x=1　s=1.5704　2s=3.1408

■三角関数　y=sin[(pi)x]　x=0〜x=0.5　s=1.152409331

◇放物線の長さ◇

■root[x^2+a]の積分

■放物線　y=x^2　x=0〜x=1 の長さL

dy/dx=2x　ds/dx=root[1+4*x^2]=2*root[x^2+1/4]

F(1)=root[1+1/4]=root[5/4]=root[5]/2
F(0)=root[1/4]=-1/2

放物線の長さL=∫{ds/dx}dx={x*F(x)+a*ln|x+F(x)|}[x:0->1]
=F(1)+(1/4)*ln|1+F(1)|-(1/4)*ln|1+F(0)|
=root[5]/2+(1/4)*ln|1+root[5]/2|-(1/4)*ln|1-1/2|
=root[5]/2+ln{2+root[5]}/4
=1.11803…+0.36091…=1.47894…

■点(1,1)と原点とを結ぶ線分の長さ=root[2]=1.41421…
{放物線とたいして変わらない!}放物線の方が6%ほど長い。

◇心臓形 cardioid◇

■r=A*[1-(cos(a))]　または　r=A*[1+(cos(a))]

■A=1 のときの、周の長さL

(dr)^2+r^2*(da)^2=[sin(a)^2+r^2]*(da)^2=2[1-cos(a)]*(da)^2

${root[1-cos(a)]}=2*root[2]*sin(x/2)

L=2*${root[(dr)^2+r^2*(da)^2]}da[a:0->(pi)]
=8[sin(x/2)][a:0->(pi)]=8

◇◇

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◇曲線の長さ◇